Progetto 2: canale di Pauli

In questo progetto implementeremo il canale di Pauli generale in qiskit.

Come applicazione, calcoleremo una quantità molto importante in termodinamica quantistica, nota come lavoro estraibile, cercando di riprodurre il risultato dell'articolo G. García-Pérez et al., npj Quantum Inf 6, 1 (2020).

Il sistema quantistico aperto a singolo qubit più generale è il canale di Pauli dipendente dal tempo. L'equazione maestra in questo caso prende la forma \begin{equation} \frac{d\rho_{S} }{dt}(t)=\frac{1}{2}\sum_i\gamma_i(t)\left[\sigma_i\rho_{S}(t)\sigma_i-\rho_{S}(t)\right]. \end{equation}

In generale, la dinamica descritta dall’equazione maestra sopra riportata non è covariante rispetto alla fase [1], tranne nel caso in cui $\gamma_x(t)=\gamma_y(t)$. Inoltre, poiché i rate di decadimento possono assumere valori negativi, è necessario imporre condizioni di completa positività, che sono espresse in termini di un insieme di disuguaglianze che coinvolgono tutti e tre i rate di decadimento, come si può vedere, ad esempio, dalla referenza [2].

A uno specifico istante temporale $t$, il canale di Pauli può essere scritto come \begin{equation} \mathcal{E} (\rho) = \sum_{i=0}^3 p_i \sigma_i \rho \sigma_i, \end{equation}

con $0 \leq p_i \leq 1$ e $\sum_i p_i = 1$. Il canale di depolarizzazione è un caso specifico del canale di Pauli dove $p_1 = p_2 = p_3 = p/4$.

È possibile implementare il canale di Pauli generale utilizzando solo due qubit ausiliari, preparandoli in un adeguato stato di entanglement. Il primo qubit funge da controllo per un gate $X$ controllato (CNOT), mentre il secondo per un gate $Y$ controllato. Si noti che l'applicazione combinata di un gate $X$ e di un gate $Y$ equivale, in pratica, all'applicazione di un gate $Z$.

Lo stato $|\psi \rangle$ dei qubit ausiliari necessario per il canale di Pauli può essere implementato dal circuito seguente:

Attività 1 (1 punto)

Il canale di depolarizzazione è un caso specifico del canale di Pauli dove $p_1 = p_2 = p_3 = p/4$. Può quindi essere implementato usando il circuito sopra. Ma perché un generico canale di Pauli non può essere implementato con il circuito usato nel Progetto 1, se permettiamo ai ciacuno dei tre qubit ausiliari di essere ruotato di un diverso angolo $\theta$?

Trova un controesempio del canale di Pauli che non può essere implementato con il circuito usato nel Progetto 1.

Attività 2 (2 punti)

La parte cruciale dell'implementazione del circuito per il canale di Pauli è l'inversione del sistema di equazioni

\begin{equation} \begin{cases} p_0 = |\langle 00|\psi \rangle|^2 = (c_1 c_2 c_3 + s_1 s_2 s_3)^2 & \\ p_1 = |\langle 01|\psi \rangle|^2 = (c_1 c_2 s_3 - s_1 s_2 c_3)^2 & \\ p_2 = |\langle 10|\psi \rangle|^2 = (c_1 s_2 c_3 - s_1 c_2 s_3)^2 & \\ p_3 = |\langle 11|\psi \rangle|^2 = (s_1 c_2 c_3 + c_1 s_2 s_3)^2 & \end{cases} \end{equation}

dove $c_i \equiv \cos \theta_i$ e $s_i \equiv \sin \theta_i$, che ci dà i tre angoli $\theta_1$, $\theta_2$ e $\theta_3$.

Il sistema ammette più soluzioni, ma ci basta trovarne una (possiamo limitarci agli angoli compresi tra 0 e $2\pi$).

1. Trova una soluzione di questo tipo, sia analiticamente (ad esempio utilizzando Mathematica) sia numericamente (ad esempio utilizzando scipy.optimize)
2. Implementa una funzione che restituisca il circuito che implementa il canale di Pauli per una lista di valori [p_1, p_2, p_3].

NOTA: Molti risolutori non sono in grado di trovare una soluzione in modo coerente o non riescono affatto a trovare una soluzione per il punto 2.1. Può essere utile fornire una stima iniziale (ad esempio casuale) e consentire al risolutore solo soluzioni con una tolleranza molto bassa ($<10^{-10}$). Può anche essere utile fornire i limiti $(0, 2\pi)$ e passare da un algoritmo di minimizzazione all'altro.

Attività 3 (2 punti)

Misureremo la quantità di lavoro che può essere estratta tramite cancellazione nel nostro sistema, costituito dal qubit A preparato inizialmente in uno stato entangled con una memoria quantistica Q. Questa grandezza è rilevante nella termodinamica quantistica. È stata introdotta in L. del Rio et al., Nature 474, 61 (2011) e studiata anche nel contesto delle dinamiche non markoviane, B. Bylicka et al., Sci. Rep. 6, 27989 (2016) (un’implementazione sperimentale su dispositivi IBM Q è disponibile qui: G. García-Pérez et al., npj Quantum Inf 6, 1 (2020)).

Implementeremo una funzione che calcola l’equazione (4) di B. Bylicka et al., Sci. Rep. 6, 27989 (2016). È possibile utilizzare il lavoro estraibile riscalato riportato di seguito.

$$\frac{W_{ex}(t)}{kT\ln{2}} = [n - S(A | Q)]$$

Per questo, abbiamo bisogno di una funzione conditional_entropy che prende in ingresso un vettore di stato a due qubit o operatore densità e dà come risultato l'entropia condizionata $S(A|B) = S(AB) - S(B)$ dove $S$ indica l'entropia di von-Neumann.

Ora puoi implementare la funzione extractable_work. Anche questa prende in ingresso un sistema a due qubit e restituisce la quantità di lavoro estraibile.

Attività 4 (5 punti)

Ora implementeremo due diversi tipi di dinamiche, cioè funzioni che restituiscono i valori di p in funzione del tempo. Una è una mappa non-CP-divisible (vedi Chapter 8 of Open Quantum Systems with Qiskit)

p_ncp = [1/4 * (1 - np.exp(-2 * t * eta)), 
         1/4 * (1 - np.exp(-2 * t * eta)),
         1/4 * (1 + np.exp(-2 * t * eta) - 2 * np.exp(-t * eta) * np.cos(t * omega))]

e l'altra è eternamente non-Markoviana (vedi G. García-Pérez et al., npj Quantum Inf 6, 1 (2020))

p_enm = [1/4 * (1 - np.exp(-2 * t * eta)), 
         1/4 * (1 - np.exp(-2 * t * eta)),
         1/4 * (1 + np.exp(-2 * t * eta) - 2 * np.exp(-t * eta) * np.cosh(t * omega))]

1. Scrivi le funzioni p_ncp(t) e p_enm(t) che restituiscono il circuito che simula il canale di Pauli al tempo $t$ per le due dinamiche sopra indicate.
2. Scrivi un circuito in cui si preparano due qubit (il sistema e la memoria) nello stato $|\Psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}{(|01\rangle - |10\rangle)}$.
3. Utilizziamo la seguente scala temporale e i seguenti parametri per le dinamiche.

    t_values = np.linspace(0, 3, 11)

    params_ncp = {'eta': 0.1, 'omega': 2.0}
    params_enm = {'eta': 1.0, 'omega': 0.5}


scrivi i circuiti che implementano le dinamiche per ciascuno dei `t_values`.

1. Per ciascun circuito, esegui la tomografia di stato su un simulatore, calcola e traccia il lavoro estraibile in funzione del tempo per entrambe le dinamiche. Esegui i circuiti utilizzando qiskit_experiments.framework.BatchExperiment fornendo un elenco di istanze di StateTomography. In questo modo è possibile eseguire tutti i circuiti necessari con un’unica chiamata, il che può velocizzare gli esperimenti quando si ha a che fare, ad esempio, con dispositivi reali.
2. Traccia anche i valori esatti del lavoro estraibile per entrambe le dinamiche.

Attività opzionale

1. Utilizza il circuito del canale di Pauli generale per implementare il canale di depolarizzazione su un dispositivo reale e confronta i risultati sperimentali con quelli del progetto precedente. Quale dei due presenta una fedeltà maggiore?

2. Esegui il codice sopra riportato su un dispositivo reale e confrontalo con la simulazione. Per assistenza, consulta la soluzione del progetto 1!