Projekti 1: Depolarisoiva kanava

Tässä projektissa toteutamme depolarisoivan kanavan Qiskitillä ja testaamme sitä simulaattorissa tilatomografiamenetelmällä – ja valinnaisesti myös oikealla laitteella.

Depolarisoiva kanava on yksi yleisimmistä kubittidekoherenssin malleista sen kivojen symmetriaominaisuuksien ansiosta. Voimme kuvailla sitä näin: todennaköisyydellä $1-p$ kubitti pysyy koskemattomana, kun taas todennäköisyydellä $p$ tapahtuu virhe. Virhe voi olla bitin kääntyminen, jota kuvaa operaattorin $\sigma_x$ toiminta, faasin kääntyminen, jota kuvaa operaattorin $\sigma_z$ toiminta tai molemmat, jota kuvaa operaattorin $\sigma_y$ toiminta. Kun Markovin avoin kvanttisysteemi altistetaan depolarisoivalle taustakohinalle, sen dynaaminen kuvaus voidaan kirjoittaa:

\begin{align} \Phi_t \rho_S = \left[1-\frac 3 4 p(t)\right] \rho_S + \frac{p(t)}{4} \sum_i \sigma_i \rho_S \sigma_i, \end{align}

jossa $i=x,y,z$ ja $p(t)=1 - e^{-\gamma t}$, jossa $\gamma$ on Markovin hajoamisnopeus.

Depolarisoiva kanava voidaan toteuttaa millä tahansa arvolla $p\equiv p(t) \in [0, 1]$ alla olevan kuvan mukaisella piirillä. Kolme apukubittia on valmistettu tilaan $| \psi_\theta \rangle = \cos \theta/2 | 0 \rangle + \sin \theta/2 | 1 \rangle$, ja ne toimivat kontrollina kontrolloidulle $X$-portille (CNOT), kontrolloidulle $Y$-portille ja kontrolloidulle $Z$-portille. Kutakin näistä porteista käytetään siten todennäköisyydellä $\sin^2 \theta/2$.

Kiertokulma $\theta$ täytyy valita niin, että kutakin porteista käytetään todennäköisyydellä $p$. Huomaa, että jos käytetään ensin porttia $X$ ja sitten porttia $Y$, lopputulos on sama kuin jos käytettäisi pelkkää porttia $Z$. Tuloksena saadaan yhtälö, joka sitoo $\theta$:n arvon $p$:n arvoon:

\begin{equation} \sin^2 \frac \theta 2 \cos^4\frac\theta2 + \sin^4 \frac\theta 2 \cos^2 \frac \theta 2 = \frac p 4, \end{equation}

Tällä on ratkaisu $\theta(p) = \frac 12 \arccos(1 - 2 p)$.

Tehtävä 1 (1p)

Luo funktio, joka palauttaa kvanttipiirin, joka toteuttaa depolarisoivan kanavan parametrilla $p$ system-kubittiin käyttäen kolmea apukubittia ancillae = [a1, a2, a3].

Tehtävä 2 (1p)

Luo piiri initial_state joka valmistaa kubitin system alkutilaan, jossa populaatiot ja koherenssit poikkeavat nollasta (sekä reaali- että imaginääriosat).

Tehtävä 3 (4p)

Valmistele tilatomografiakoe, jolla analysoimme piirin ja depolarisoivan kohinan tuottamaa tilaa. Tässä rekonstruoimme tiheysmatriisit ja tilojen fideliteetit.

1. Eri arvoille $p \in [0, 1]$:

   1. A) Yhdistä kvanttipiirissä initial_state ja depolarizing_channel.

   2. Valmistele ja aja StateTomography, joka löytyy kirjastosta qiskit_experiments.library.tomography tehdäksesi tomografian vain system-kubitille simulaattoria käyttäen.

      • Laske myös fideliteetti verrattuna system-kubitin tilaan initial_state (eli ilman depolarisoivaa kanavaa). Saatat tarvita toimintoa partial_trace qiskit.quantum_info:sta.

      • Laske virherajat fideliteeteille bootstrapping-menetelmällä. Käytä tätä varten StateTomographyAnalysis-kirjastosta qiskit_experiments.library.tomography joillakin argumenteilla ja käytä näitä StateTomography:ssa.

   3. Kokoa tiheysmatriisit, fideliteetit ja fideliteettien virheet.
      
      

2. Kuvaile lyhyesti omin sanoin, mitä StateTomography tekee. Mitä täytyy mitata? Miten varmistamme, että tiheysmatriisi on fysiikalinen? (Mahdollisesti hyödyllisiä linkkejä: Quantum State Tomography ja Open Quantum Systems with Qiskit.)

Tehtävä 4 (4p)

1. Määritä numeerisesti eksakti tiheysmatriisi system-kubitille depolarisoivan kanavan jälkeen $p$:n funktiona.
2. Piirrä kuvaajat $\rho_{00}$:n, $\rho_{11}$:n, $\mathrm{Re}(\rho_{01})$:n ja $\mathrm{Im}(\rho_{01})$:n arvoista $p$:n funktiona ja vertaa niitä analyyttisiin ennusteisiin/odotuksiin.
3. Määritä numeerisesti system-kubitin eksaktit fideliteetit depolarisoivan kanavan jälkeen $p$:n funktiona.
4. Piirrä kuvaajat system-kubitin eksakteista ja simuloiduista fideliteeteistä verrattuna alkutilaan $p$:n funktiona. Lisää 3. tehtävässä lasketut virherajat kuvaajiin.

Datapisteiden äärellisestä määrästä johtuvia tilastollisia virheitä lukuun ottamatta simulaation tuottamien pisteiden tulisi olla lähellä analyyttistä ennustetta. Fideliteettien osalta virherajat kattavat yhden keskihajonnan (~68 %).

Valinnainen lisätehtävä

Suorita kaikki yllä olevat tehtävät todellisella laitteella melunvaimennuksen kanssa ja vertaa tuloksia simulaatioon. Tätä varten voit käyttää MitigatedStateTomography:a StateTomography:n sijaan.

Huomaa, että MitigatedTomographyAnalysis toimii hieman eri tavalla kuin StateTomographyAnalysis. Jos tulee ongelmia, kokeile tarjota analyysiluokkaa ajaessasi tomografiakoetta sen sijaan, että teet sen alustaessasi koetta.

Voit hankkia todellisen laitteen taustaohjelman seuraavalla koodilla (primitiivit, kuten Sampler, ovat suhteellisen uusia, joten niitä ei tueta vielä qiskit-experiments-ympäristössä). Varmista lopuksi, että olet luonut ja tallentanut IBM Quantum-tilisi!